Weak Homotopy Equivalence

Definition / 释义

弱同伦等价：在代数拓扑中，一个连续映射 \(f:X\to Y\) 如果对所有点的同伦群都诱导同构（通常表述为对所有 \(n\ge 0\) 的 \(\pi_n\) 都是同构，含对路径分支的 \(\pi_0\)），就称 \(f\) 是一个 weak homotopy equivalence。
它比 homotopy equivalence（同伦等价） 更“弱”：弱同伦等价不一定给出实际的同伦逆映射，但在许多情形（如 \(X,Y\) 是 CW 复形）可由 Whitehead 定理推出它其实就是同伦等价。

Pronunciation / 发音

/wiːk həˈmɑːtəpi ɪˈkwɪvələns/

Examples / 例句

A map that induces isomorphisms on all homotopy groups is a weak homotopy equivalence.
一个在所有同伦群上都诱导同构的映射称为弱同伦等价。

For CW complexes, a weak homotopy equivalence is often upgraded to a homotopy equivalence by Whitehead’s theorem.
对 CW 复形而言，借助怀特海德（Whitehead）定理，弱同伦等价通常可提升为同伦等价。

Etymology / 词源

• weak 表示“较弱的/条件更少的”，说明它要求的结构信息比“真正的同伦等价”更少。
• homotopy 来自希腊语词根 **homo-**（相同）与 -topos（地方/位置），引申为“连续变形下保持相同的类”。
• equivalence 源自拉丁语词根，含“相等/等价”的意思，用于强调在某种意义（这里是同伦群层面）上的“等同”。

Related Words / 相关词

• Homotopy
• Homotopy Equivalence
• Weak Equivalence
• Homotopy Group
• Fundamental Group
• CW Complex
• Whitehead Theorem
• Model Category
• Fibration
• Cofibration

Literary Works / 文学与著作中的用例

• Allen Hatcher, Algebraic Topology（讨论弱同伦等价与 Whitehead 定理等核心内容）
• J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology（以同伦群与等价概念为主线出现）
• Mark Hovey, Model Categories（将 weak homotopy equivalence 置于模型范畴“弱等价”框架中）
• Philip S. Hirschhorn, Model Categories and Their Localizations（在局部化与弱等价的系统处理里频繁出现）
• Paul G. Goerss & John F. Jardine, Simplicial Homotopy Theory（在单纯同伦理论与弱等价语境中出现）